奇点定理的证明

确切地讲，奇点定理的证明是要通过这对彼此矛盾的结果来论证以下五个条件不可能同时成立：

时空是测地完备的。

强能量条件成立。

一般性条件成立。

时空满足时序条件。

时空中存在一个非时序点集S，使得E+（S）与E-（S）紧致。

限于篇幅，我们只能简单叙述一下论证的思路。在上述五个条件中，1~3是第三节所介绍的证明奇点定理的第一步所用的条件，由此推知的是每条非类空测地线上都存在共轭对。1和4所推知的-如上文所述-是时空满足强因果条件。而由强因果条件与5则可以证明这样一个结果：时空中存在一个包含一条未来不可延拓类时曲线γ及一条过去不可延拓类时曲线λ的全局双曲区域M。利用这一结果就可以证明时空中存在一条没有共轭对的非类空测地线。

具体的做法是：在λ上取一个沿过去方向趋于无穷的点集an，同时在γ上取一个沿未来方向趋于无穷的点集bn（选取时使得b1在a1的类时未来，从而保证所有bn都在an的类时未来）。由于M是全局双曲的，因此-如上文所述-在每一对an和bn之间都存在一条（长度最大的）非类空测地线μn，其上在an和bn之间不存在an的共轭点。可以证明，M中的这一由非类空测地线μn组成的无穷集合必定存在一个“聚点”μ，它是一条非类空测地线，并且其上不存在任何共轭对。这样，我们就得到了与第一步所得的“每条非类空测地线上都存在共轭对”相矛盾的结论，从而证明了上述五个条件不可能同时成立。

既然上述五个条件不可能同时成立，那么我们就可以用其中四个条件为前提（即假定这四个条件成立），来推翻剩下的那个条件[注二]。Hawking与Penrose所做的是以2~5为前提，来推翻1，即证明时空不是测地完备的。按照我们在第一节所作的定义，这表明时空中存在奇点。这就是Hawking与Penrose的奇点定理。

在被奇点定理采用为前提的2~5中，2~4都有明确的物理意义，唯独5-即时空中存在一个非时序点集S，使得E+（S）与E-（S）紧致-显得很抽象。幸运的是，我们可以用一些物理意义更为明确的条件来取代这一抽象的数学条件。在上文中我们介绍过，如果强能量条件成立，则对于任何封闭陷获面S，E+（S）与E-（S）紧致。由于强能量条件已经包含在2~4中了，因此我们可以用“时空中存在封闭陷获面”来取代5，这个条件在物理上可以由足够致密的星体来满足。

除此之外，Hawking与Penrose还提出了另外两个条件来取代5：一个是“时空中存在紧致无边的非时序点集”[注三]，这个条件在物理上可以由空间上有限无边的宇宙来满足；另一个是“时空中存在一个点，通过该点的所有未来（或过去）方向的类光测地线束的膨胀标量θ最终将变为负值”，这个条件在物理上可以由局部膨胀或收缩的宇宙来满足。这三个都是原则上可以检验，并且很可能在我们的宇宙中已经得到满足的条件。至此，我们可以对Hawking与Penrose所证明的奇点定理做一个完整的表述：

Hawking-Penrose奇点定理:一个时空若满足以下条件，就必定是非类空测地不完备的（即存在奇点）：

1.强能量条件成立。

2.一般性条件成立。

3.满足时序条件。

4.以下三个条件之一成立：

a.存在封闭陷获面。

b.存在紧致无边非时序点集。

c.存在一个点，通过该点的所有未来（或过去）方向的类光测地线束的膨胀标量θ最终将变为负值。